Пример Найдем определитель матрицы: \[
B = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
5 & 6 & 0
\end{pmatrix}
\]Вводим det в пустое поле под экраном калькулятора, используя клавиатуру компьютера. Далее нам нужно набрать следующую последовательность:
Получаем результат: Определитель матрицы \( B \) равен \( 1 \).
Определитель матрицы — это скалярная величина, которая может быть вычислена для квадратной матрицы (матрицы с одинаковым числом строк и столбцов). Он имеет множество важных математических свойств и применяется в различных областях, таких как линейная алгебра, геометрия и теория систем линейных уравнений.
Свойства определителя
1. Определитель квадратной матрицы: Определитель может быть вычислен только для квадратных матриц (размером \( n \times n \)).
2. Геометрический смысл: Определитель может быть интерпретирован как объем параллелепипеда, образованного векторами, представленными строками или столбцами матрицы.
3. Обратимость матрицы: Матрица является обратимой (имеет обратную матрицу) тогда и только тогда, когда её определитель не равен нулю. Если \( \det(A) = 0 \), то матрица \( A \) вырождена и не имеет обратной матрицы.
4. Свойства:
- Сумма: \( \det(A + B) \) не равен \( \det(A) + \det(B) \) в общем случае.
- Произведение: \( \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) \) для любых квадратных матриц \( A \) и \( B \).
- Транспонирование: \( \det(A^T) = \det(A) \) (определитель матрицы равен определителю её транспонированной матрицы).
- Скалярное умножение: Если все элементы строки матрицы умножить на скаляр \( k \), то определитель будет равен \( k \cdot \det(A) \).
Пример вычисления определителя
Для матрицы \( A \) размером \( 2 \times 2 \):
\[
A = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\]
Определитель вычисляется по формуле:
\[
\det(A) = ad — bc
\]
Для матрицы \( B \) размером \( 3 \times 3 \):
\[
B = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix}
\]
Определитель вычисляется по формуле:
\[
\det(B) = a(ei — fh) — b(di — fg) + c(dh — eg)
\]
Заключение
Определитель является важной характеристикой матрицы, которая помогает в решении систем линейных уравнений, анализе свойств линейных преобразований и в других областях математики.