| Выберите параметр: | |
| Введите объем цилиндра: | |
|
|
|
Поставим себе следующую задачу. Необходимо построить на даче бак в виде цилиндра, который бы вмещал 3 кубометра воды и условием что бы затраты на металл для бака были минимальны.
Кто считает, что какая разница каких размеров (высота и радиус) строить бак, то тот глубоко заблуждается и как следствие платит за материал для бака бОльшую сумму.
Есть оптимальные размеры бака для любого заданного объема.
Эта же задача формулируется в математике так — найти параметры цилиндра заданного объема, при минимальной площади поверхности.
Давайте определим их.
Итак у цилиндра есть два базовых параметра это радиус R основания(или диаметр D) и высота h
Объем V такой ёмкости определяется как 
Общая площадь S поверхности цилиндра, то есть сумма площадей торцевых частей и площади боковой части равна 
Если бак или цилиндр не имеет одной торцевой крышки, например открытая ёмкость для воды то 
Нам надо определить параметры при которых пплощадь поверхности будет минимальна.
Используем свойство производной функции, которая говорит о том что взяв производную от какой либо функции и приравняв её к нулю, мы сможем найти все максимумы и минимумы этой функции на указанном отрезке.
Только прежде выразим высоту цилиндра через объем и радиус 
И тогда
Приравняв производную к нулю получим
откуда
В результате вычислений мы получим, что для замкнутого с двух торцевых сторон бака ёмкостью 3 кубометра нам необходимо его строить с такими параметрами
Радиус основания =0.782 метра
Высота цилиндра = 1.563 метра
А что если у нас одного торца не будет. то есть мы проектируем открытый бак?
Тогда площадь поверхности
И тогда
При открытом баке оптимальные размеры можно не рассчитывать. Просто считать по формуле
и принимая что высота и радиус должны быть одинаковы.