Транспонирование матрицы — это операция, при которой строки матрицы становятся столбцами и наоборот. Если у вас есть матрица \( A \) размером \( m \times n \), то её транспонированная матрица \( A^T \) будет размером \( n \times m \).
Вот краткий алгоритм для транспонирования матрицы:
1. Создайте новую матрицу \( B \) размером \( n \times m \).
2. Для каждого элемента \( A[i][j] \) матрицы \( A \) запишите его в \( B[j][i] \).
Пример:
Пусть у нас есть матрица:
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
\]
Транспонированная матрица \( A^T \) будет:
\[
A^T = \begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6
\end{pmatrix}
\]
Свойства
1. Транспонирование транспонированной матрицы:
\[
(A^T)^T = A
\]
2. Сумма матриц:
\[
(A + B)^T = A^T + B^T
\]
3. Произведение матриц:
\[
(AB)^T = B^T A^T
\]
4. Скалярное умножение:
\[
(cA)^T = cA^T
\]
где \( c \) — скаляр.
Применение
Транспонирование матриц широко используется в различных областях, таких как:
- Линейная алгебра
- Компьютерная графика
- Статистика
- Машинное обучение
- Обработка сигналов
Транспонирование может быть полезным, например, для изменения формы данных, чтобы они подходили для определённых алгоритмов или операций.