Наименьшее общее кратное (lcm)

Запись: lcm(x, y)
Параметры: x,y — число
Пример: lcm(3528, 3780)

Наименьшее общее кратное двух или более чисел — это наименьшее положительное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.

Формальное определение

Для двух целых чисел \( a \) и \( b \) наименьшее общее кратное обозначается как \( \text{НОК}(a, b) \) и определяется следующим образом:
\[
\text{НОК}(a, b) = \min \{ k \in \mathbb{Z}^+ : k \text{ делится на } a \text{ и } b \}
\]

Свойства НОК

1. НОК всегда больше или равно максимальному из чисел.
2. НОК(a, b) * НОД(a, b) = |a * b|.
3. НОК для любого числа и 1 равен этому числу: \( \text{НОК}(a, 1) = a \).

Примеры использования

НОК двух чисел

Задача: Найдите НОК для чисел 12 и 18.

Решение:
Разложим числа на простые множители:

$$12 = 2^2 \times 3, \quad 18 = 2 \times 3^2.$$

Возьмём все простые множители, присутствующие в разложении, с их наибольшими степенями:

$$\text{НОК} = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36.$$

Ответ: НОК для чисел 12 и 18 равен 36.

НОК трёх чисел

Задача: Найдите НОК для чисел 4, 6 и 8.

Решение:
Разложим числа на простые множители:

$$4 = 2^2, \quad 6 = 2 \times 3, \quad 8 = 2^3.$$

Возьмём все простые множители с их наибольшими степенями:

$$\text{НОК} = 2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24.$$

Ответ: НОК для чисел 4, 6 и 8 равен 24.

НОК для чисел, не имеющих общих делителей

Задача: Найдите НОК для чисел 7 и 5.

Решение:
Числа 7 и 5 — простые, их единственный общий делитель равен 1.

Формула:

$$\text{НОК}(7, 5) = \frac{7 \times 5}{\text{НОД}(7, 5)}.$$

Так как НОД(7,5)=1:

$$\text{НОК}(7, 5) = 7 \times 5 = 35.$$

Ответ: НОК для чисел 7 и 5 равен 35.