Двойной факториал — это обобщение обычного факториала, обозначаемое как \( n!! \), и определяется для неотрицательных целых чисел. Двойной факториал \( n!! \) равен произведению всех целых чисел от 1 до \( n \), которые имеют тот же четный или нечетный паритет, что и \( n \).
Определение
1. Для четных чисел:
Если \( n \) — четное число, то двойной факториал определяется как:
\[
n!! = n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdots \cdot 2
\]
Например:
- \( 6!! = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48 \)
- \( 4!! = 4 \cdot 2 = 8 \)
2. Для нечетных чисел:
Если \( n \) — нечетное число, то двойной факториал определяется как:
\[
n!! = n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdots \cdot 1
\]
Например:
- \( 5!! = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15 \)
- \( 3!! = 3 \cdot 1 = 3 \)
3. Специальные случаи:
- \( 0!! = 1 \) (по соглашению)
- \( (-1)!! \) обычно не определяется.
Применение
Двойной факториал находит применение в комбинаторике, теории вероятностей, а также в некоторых областях физики и математики, например, при вычислении определенных интегралов и в некоторых формулах для чисел Каталана.