Запись:
ncr(a, b)
Параметры: a: Число, b: Число
Пример:ncr(49, 6)
Биномиальный коэффициент — это числовое значение, которое представляет собой количество способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) элементов без учета порядка. Он обозначается как \( C(n, k) \) или \( \binom{n}{k} \) и вычисляется по формуле:
\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
где \( n! \) (факториал \( n \)) — это произведение всех положительных целых чисел от 1 до \( n \).
Пример использования
Предположим, вы хотите вычислить биномиальный коэффициент \( \binom{7}{3} \).
Шаги:
— Определите значения \( n \) и \( k \):
— \( n = 7 \)
— \( k = 3 \)
— Подставьте значения в формулу биномиального коэффициента:
\[
\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!}
\]
— Теперь расчитать факториалы:
— \( 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \)
— \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
— \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
— Подставляя в формулу, получаем:
\[
\binom{7}{3} = \frac{5040}{6 \cdot 24} = \frac{5040}{144} = 35
\]
Ответ:
Итак, \( \binom{7}{3} = 35 \). Это означает, что существует 35 способов выбрать 3 элемента из 7 без учета порядка.
Применение биномиальных коэффициентов
— Комбинаторика: Используются для решения задач о сочетаниях и перестановках.
— Биномиальная теорема: В теореме о биномиальном разложении выражается как коэффициенты при разложении выражения \( (a + b)^n \):
\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]
— Вероятностные задачи: Применяются для вычисления вероятностей в задачах, связанных с выбором.