Калькулятор произведения векторов (cross)

Запись: x # y, cross(x,y)
Параметры: x — Вектор, y — Вектор
Примеры: (1, 2, 3) # (2, -3, 4), cross((1, 2, 3),(2, -3, 4))

Калькулятор произведения векторов — это инструмент, который позволяет вычислять различные виды произведений векторов, такие как:

Скалярное произведение

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$

Векторное произведение

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$$

Смешанное произведение

$$(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$$

Примеры

Пример 1: Скалярное произведение

Для векторов a=(2,3,4) и b=(1,0,−1):

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 2 — 4 = -2$$

Пример 2: Векторное произведение

Для тех же векторов a=(2,3,4) и b=(1,0,−1):

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot (-1) — 4 \cdot 0) — \mathbf{j}(2 \cdot (-1) — 4 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 0 — 3 \cdot 1)$$ $$= -3\mathbf{i} — (-6)\mathbf{j} — 3\mathbf{k} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} — 3\mathbf{k}$$

Результат:

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)$$

Пример 3: Смешанное произведение

Для векторов a=(1,0,2), b=(2,1,0), c=(0,2,1):

$$(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$$

Сначала находим b×c:

$$\mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 — 0 \cdot 2) — \mathbf{j}(2 \cdot 1 — 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 — 1 \cdot 0)$$ $$= \mathbf{i}(1) — \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(4) = (1, -2, 4)$$

Теперь находим скалярное произведение:

$$\mathbf{a} \cdot (1, -2, 4) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 = 1 + 0 + 8 = 9$$

Результат:

$$(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) = 9$$